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專訪|未來科學大獎得主彭實戈:數學是一旦對了,到處都對

2020年09月13日 09:00來源:澎湃新聞
責任編輯:第一黃金網
摘要
9月6日中午十二點,73歲的彭實戈如約坐到了電腦前打開視頻,身后背景是滿滿當當的書架。就在1個小時之前,他的名字作為“數
9月6日中午十二點,73歲的彭實戈如約坐到了電腦前打開視頻,身后背景是滿滿當當的書架。就在1個小時之前,他的名字作為“數學與計算機科學獎”得主,出現在了2020未來科學大獎新聞發布會的現場大屏幕上。獎金為100萬美元,使用方式不受限制。

談起非線性數學期望,彭實戈的語氣是驕傲的:“這是我工作、或者說我開創的領域。”這個領域站在概率論的肩膀上創立,卻比概率論更為普遍和廣泛,從而能更好地分析現實世界中的預期問題,例如金融風險。

1993年,彭實戈調研后發現當時絕大部分企業、機構對期貨、期權的避險功能了解甚少,在不清楚這種金融工具的巨大風險的情況下便盲目投資,進行境外期貨、期權交易。為此,他寫了兩封信,一封交給時任山東大學校長潘承洞,另一封遞交國家自然科學基金委。信中,他陳述了自己對國際期貨、期權市場的基本看法,建議從速開展對國際期貨市場的風險分析和控制的研究,加強對金融高級人才的培養。后來,山東省立即停止了境外期貨交易。國家自然科學基金委也很快發文將彭實戈的建議信轉呈中央財經領導小組,避免了國內金融資產的大量流失。

1996年,彭實戈成為國家自然科學基金會重大項目 “金融數學、金融工程和金融管理”的第一負責人,這是國內金融數學從無到有、再后來走向國際前列的起點。

2010年,他走上國際數學家大會的報告臺,成為全職在大陸工作的數學家中,作“一小時報告”的第一人。

線性與非線性的數學人生

彭實戈祖籍廣東海豐,母親彭平是彭湃烈士的侄女。1947年,身懷六甲的彭平從廣東跋涉到山東,不久,彭實戈在濱縣呱呱墜地,而他的父親黃顯群卻在1948年的濟南戰役中犧牲。

從山東這片土地上,彭實戈開啟了他的數學人生。他的主要研究成果包括一般隨機最大值原理、倒向隨機微分方程、非線性Feynman-Kac公式和非線性數學期望理論。

名字聽起來很可怕,但近年來,他試圖向高中生解釋這些理論。彭實戈相信希爾伯特的說法:一個好的數學工作,在大街上拉個人講上15分鐘,對方也能大概聽懂。

這一串成果的關鍵詞是“非線性”。一旦涉及到決策,人們總是需要對未來做出預期。然而,真實的世界不像數列一樣有著簡潔的規律,也不像理想中的拋硬幣實驗一樣具備明確的概率。如果將理想條件下才有的線性預期套在現實應用上,往往行不通。

彭實戈發展了比概率論更為普遍的非線性數學期望理論體系,相比起線性期望體系,相當于從隨機世界的歐幾里得幾何公理體系跨到了非歐幾何,從而更準確地刻畫人類社會面臨的復雜預期問題。

有趣的是,這一串“非線性”研究從因果關系上看卻是“線性”發生的。從1989年在復旦大學做博士后,突然找到并證明了一般隨機最大值原理開始,每一個發現都導向另一個靈感,美妙的數學旁邊總是隱藏著更為美妙的數學。

彭實戈稱自己是幸運的。這種幸運不是中彩票式的,而是頓悟式的,只可意會,不可言傳。經歷了無數次提筆而毫無結果、鎩羽而歸, “總是不對,總是不對,一旦對了,到處都對。”

當然,人生的變幻莫測不亞于金融風險,彭實戈的數學探索之路看似一氣呵成,足夠“線性”,但推敲細節,還是逃不過“非線性”的意外因素。

在敘述時,彭實戈喜歡用“突然”這個詞。故事的開頭,他在山東大學物理系讀《熱力學》時,就是靈感突發,寫下一篇數學論文而因而被山東大學數學系點名調入,走上數學之旅;在一個寒冷的早晨抓住一閃而過的念頭,跳下床寫下倒向隨機微分方程,也是突然;再后來在法國遇到一位教授,提起非線性Feynman-Kac公式應該可以用于彭實戈毫不熟悉的金融,更是突然。

他相信,對于未知的數學難題,方向找錯了是常有的事,關鍵在于不能悶頭就往自己認準的方向走,而是保持對大環境的察覺。真正重要的想法往往一閃而過,抓不住就會消失的無影無蹤。“反正我有好幾次是抓住它了。”

大樹的根,大樹的果

彭實戈覺得數學很有意思,一般來說如果做出來的結果非常漂亮,那它肯定有應用之處。

非線性期望理論就很漂亮,而且,它很基礎。一般都說數學是基礎學科中的基礎,而他提醒道,基礎中還有特別基礎的沒有做完,就像非線性期望理論這塊。

這些“特別基礎”就是數學這顆大樹的根,它們會影響到大樹后續的分杈,在各種各樣不同的環境下生出美麗的花,結出復雜的果。

從歐幾里得幾何到黎曼幾何,連黎曼本人也不會想到后來愛因斯坦會用它來發展出了廣義相對論的數學基礎。那么,從線性期望到非線性期望,這門新興的理論又將給數學中的其他領域,乃至其他科學帶來什么樣的變化?彭實戈自己也不能看得太遠。

為此,他在2018年成立了山東大學數學與交叉科學研究中心,就是希望將非線性期望這個數學工具推得更廣,與未來科學緊密結合。

“科學有點像瞎子摸象,你摸到的地方不一樣,你的體會就不一樣,你當然會覺得我現在摸到的是誰都不知道的東西,但是人家也能摸到你不知道的東西,所以需要交流。”

只不過,想讓這些跨學科的科學家們聊到一塊兒可不是容易的事。彭實戈特別看好非線性期望在生命科學中的潛力,他也有位學生已經在基因工程中做出了重要貢獻。只不過,離開十幾年,如今聊起來,他們的“語言”竟出現了隔閡。對方覺得很簡單的事情,彭實戈需要努力地理解。

喝喝下午茶,問問數理化

怎么讓大家聊到一塊兒去?彭實戈的法子就是,先喝杯咖啡吧!

曾留學法國的他描繪了一番類似于法國沙龍文化的圖景:制造輕松的tea times(下午茶)氛圍,彼此先不要說能做出什么東西來,光聊聊對某個問題的理解,聊聊對各自工作的理解,講數學的故事、講物理的故事、講生命科學的故事。

這時,彭實戈仿佛回到了30年前還在復旦的時候,幾個年輕人聊數學,說著說著就拿起紙來算,隨隨便便就能寫滿很厚的一沓紙。這樣做了大概一年半,外邊就把這五、六個人傳為“復旦學派”。

“回想當年也是非常令人欣慰的,因為我們在隨機控制這個領域本來是跟著別人走的,突然之間很多東西都出自我們之手了。”

他認為這種開放性思維(Open mind)對于數學探索起到決定性作用,具體的一個表現就是提問題。朋友之間你問我答,我問你答,還有自問自答。

在山東大學物理系讀書時,彭實戈就喜歡向別人提問。之所以有那篇打動數學教授張學銘先生的文章,就是因為在圖書館看書時自己偶然想到了一個雙曲復變函數的數學問題,然后馬上自己動筆論證。

全世界都曾認為隨機微分方程不能倒向,必須正著往前發展。彭實戈偏要提問,為什么不行呢?大家都說不行,結果蒙塵拂開,倒向隨機微分方程這個很大的研究領域展露光輝。

建立了倒向隨機微分方程,彭實戈繼續追問,它有什么用呢?這才有了后面與金融交集的故事。

彭實戈有點擔心,現在的考試制度可能會誤導年輕人一味往解難題的路子上走,反而忽視了提問題。

“解難題是數學非常、非常重要的方面,你一旦較起真來就會有很多、很多難題去做。但是另一個方面,你還需要通過提出問題從整個數學最底部、最原始的地方將問題理解清楚。”他說道。

“不是老師直接給你一個題讓你去做。很多問題應該自己想出來。”

采訪結束了,記者問彭實戈,掛掉視頻后最想去做什么事。

他答道:“我先喝一杯咖啡吧!”

以下為記者與彭實戈的對話實錄。     

:你現在在哪里?

彭實戈:我在家里的書房,對不起,有點亂。

:你第一時間跟誰分享了獲獎的消息?

彭實戈:跟我太太,那個時候她正好在我旁邊,如果再晚一會兒,她就出去了。她不太善于表達,但是能看得出來她非常高興。

:你自己的第一反應是什么呢?

彭實戈:我自己當然非常、非常高興,比她更高興。為什么?我多少年的研究成果被大獎的評審專家理解。因為我們做的是數學,應該說非常抽象,比其他領域更難使人理解,但實際上它的應用前景還是非常廣的。所以說,能夠獲得這樣的理解是我最高興的事。

:剛才你講到希望用這筆獎金來繼續推動這個領域,而且您說它會是未來科學(future science)。

彭實戈:我工作的、或者說開創的這個領域叫非線性數學期望,聽起來就挺嚇人的。這個領域要說得更明白一些,就是你能不能根據現在的數據來預測未來的數據,未來數據非常難以預測,哪怕說明天下不下雨都是很隨機的。這里邊需要一個新的期望理論,就像你們中學里學的數學期望。但這個期望理論過去一直是線性的,線性的期望實際上就是概率論。

數學期望提升到了非線性的,簡便地說就是非線性預期。經濟、金融等很多需要做決策的領域都需要預期,但很多時候線性期望就行不通了。這不像是我給你2、4、8,下一個你馬上就猜出來是16。也不像是擲硬幣,下一次是正面還是反面,大家都說是1/2的概率。事實上,這種理想化的實驗一定要硬幣正面和反面既完全對稱,又看著不一樣才能達到。其實,這個世上的很多事情,無論是自然科學還是人文科學,你都看到它們不是這樣的線性預期。我們有一個數學公式,你拿它算一下能知道樣本數據是不是線性。很多情況下用線性期望是不行的。

它在很多方面和未來科學是緊密結合的。各種各樣的科學實驗都要用到數據,你要求得越精密,那你看到的不確定性就越大。在這種情況下,你怎么把復雜現象分析得像平面幾何這樣清楚?這是我們的任務。我們已經長期奮戰完成了很多,但是后邊還有很多。

:可不可以舉一些實例?

彭實戈:比如它可用于解決金融風險問題。金融風險的不可預測性是最大的,所以我們就和國家的金融風險管理部門一起合作計算,明顯看測到其期望的非線性,或者說概率模型的不確定性,用線性去處理它就要出問題。當然這里邊經過了很多數學理論的分析和現實數據的驗證,我們的提出的算法確實是更強有力、更穩健的。

我們將來還要涉及很多未知科學領域,為此我們也創立了一個數學與交叉科學研究中心。為什么呢?因為這個理論是非常漂亮的。數學很有意思,一般來說如果你覺得你做出來的數學結果非常漂亮,那它肯定會有應用的。這是我自己的經驗。

:你最早從什么時候開始做這個東西?

彭實戈:我這個研究有一個延續性,可以追溯到1989年。那時候我還在復旦做博士后,在做隨機控制問題,就是不確定環境中的控制問題,獲得了一個新的隨機最大值原理,稱為一般隨機最大值原理。當時突然發現可以解決這個長期得不到解決的公開問題,我也是高興得睡不著覺,手舞足蹈。

就在一般隨機最大值原理的啟發下,又發現還有更美妙的數學藏在旁邊,就是所謂的倒向隨機微分方程。當時大家都認為隨機微分方程是不能倒向的,必須是正著往前發展。這里首先要有一個好奇心,為什么不行呢?受前一個問題研究的啟發,我和法國Pardoux教授發現, 其實不僅是行,后面還藏著一片很大的未開墾的研究領域,即倒向隨機微分方程理論。而這個理論后來就蓬勃的發展起來了(這里法國J. M. Bismut發現的線性的倒向隨機微分方程也給我們以關鍵的啟發)。

有時候數學研究成果是這樣的,一個重要的想法來到你面前,不經意之間在你腦子里一閃而過。你要抓不住,它就消失掉了。我時一天早上忽然之間想起來,那是很冷的天了,我爬起來就在桌子上寫出來驗證,以確認這個想法真是行得通的。

接下來的事情一連串發生。發現了倒向隨機微分方程的存在唯一性,但這個方程還是非常抽象,它干什么用呢?又有一個機會,我又忽然發現,物理學家費曼的Feynman-Kac公式實際上是線性形式,而通過倒向方程我們就可以獲得Feynman-Kac公式,我相信這個肯定在物理中有應用。我在法國的時候就給El Karoui教授講,講完以后,她立刻就非常激動,說可以用到金融中。我對法語中“金融”這個詞要反應半天,因此開始并不是太在意。后來發現我們研究的數學結果竟可以與金融風險對沖對應起來,一切好像事先安排好了一樣,很神奇,我們也就特別、特別高興。同時也更深刻的理解了這個數學理論。

1997年,我們專門發表一篇70多頁的研究文章《金融中的倒向隨機微分方程》。這篇文章在隨機分析,隨機控制和金融方面都受到了很高的關注。

我又突然發現倒向隨機微分方程能夠解決我長期以來沒能解決的問題,就是建立了一種動態的非線性期望,這個問題我很早以前就開始關注,實際上這個神秘的動態特性是吸引我進入隨機分析和隨機控制的重要原因,但多次的思考和討論總是不得要領,毫無結果。毫無結果在數學上是家常便飯,很多時候你費了九牛二虎之力,結果總是鎩羽而歸。而后來忽然發現,通過這個剛剛建立的倒向隨機微分方程理論就可以非常自然的引入一大類這樣的非線性期望,我稱之為g-期望: 其含義是:一個以非線性函數g為系數的倒向隨機微分方程,恰好可以用來做一個動態的非線性期望的生成函數(generating function). 這篇文章由于開始沒有人能理解而被拒稿,1997年才在被一個論文集接受發表. 它可以用來描述分析很多非線性現象,像非線性鞅論,非線性勢論,非線性Doob-Meyer分解定理等,并可以用來度量動態金融風險.

1997年還只是把非線性期望作為一個概率空間的算子而提出來,到了2004年、2005年左右,我才突然發現其實應該反過來,首先建立一個公理化理論體系下的次線性期望空間,在這個空間里可以容納豐富的多的線性期望空間,即概率空間. 這個本質性的突破使得我們有能力去分析和描述現實世界中存在的各種各樣的不確定性,包括概率測度本身的不確定性,從原則上, 我們可以分析描述和計算所有的不確定性.  不僅具有這種一般性,并且對應我們在概率理論中的各種隨機變量,各種隨機過程如高斯分布,高斯過程,布朗運動,Poisson-過程,我們都可以找到其在非線性期望空間的對應,如G-布朗運動,等,這的確是對于概率空間在概率不確定條件下的一個非常自然的提升.

最后系統地發表出來是2007年了,其中自己怎么去做、怎么獲得大家的理解,都是需要時間的。科學就是這樣,我這個算是非常幸運,被一批數學家理解了,不理解怎么辦?不理解還是要自己往前推進,所謂路漫漫其修遠兮,吾將上下而求索。

:聽起來你雖然研究非線性,但研究過程還是挺線性的,有點像拔出一個就帶出另一個,是這樣的過程嗎?

彭實戈:對。說這個話有很深刻的哲理,其實這涉及數學研究的本身是否可以被量化。如你要只說因果,這個就是線性的,但如果你想用期望來量化,就經常有根本摸不著任何邊際,山窮水盡疑無路的時候。而突然之間柳暗花明,又有一村,這就不太線性了。

:你剛才描述了很多“突然發現”的靈感瞬間。

彭實戈:我認為科學研究(當然我是做數學研究的)因為是未知的,不確定性非常之大,你覺得將來它會在下邊找到突破口,可能忽然之間才會發現你的預測都錯了,突破口其實是在上面,或者在極遠的地方。這種情況下,如果只是在一個方向一個勁兒地往下走,兩邊都不看,是不行的。你一定要在探索中察覺到新征兆,它可能就來那么一次,而你須要抓住它,抓不住就消失了。有沒有抓不住的時候?我也不知道,反正有幾次我是真的抓住了。

我當年還是高中生的時候,很喜歡看科學家探索宇宙的故事。我有時候也想,這里邊是不是有運氣的成分,可能是偶然間猜對了,而別人沒碰上,所以沒有獲得了大獎?但是對于這樣高度復雜,高度創新的問題,為什么有人老是他“猜對”,而不是一次、兩次。當然肯定失敗,失敗,又是失敗的時候,而外人看到的往往只是其最后成功的一面。就像得個彩票大獎一樣?我是從來沒見過。

我的學生們也是這樣,開始的時候也不會,但是突然之間他就明白了。悟通以后,他就經常能做出重要的結果來。這個過程如果自己不親歷,是講不明白的,只可意會。

你前面會經過很多的反復,老是不對,老是不對,突然之間就是對的了。一旦對了,到處都對。

:你一開始為什么會選擇研究數學?

彭實戈:我做數學本身也是一個偶然的機會。我本人在做學生的時候是對物理很感興趣,你看非線性Feynman-Kac公式的名字就知道。我上大學的時候,不愿意到班上聽老師講,經常跑到圖書館自己找書看。當時我找了一本熱力學的書,看累了休息,忽然之間想到了一個問題。你知道虛數它是個很怪的數,它的平方是負1,你上哪兒找一個實數它的平方是負1?找不著的,所以它是虛數。我那次就忽然想,我是不是可以找到另一個“虛數”,它不是1,也不是負1,但是它的平方卻等于1?我想這個事不見得不行,然后就動筆寫,結果寫出一套我稱之為《雙曲復變函數》的理論來。當時自認為是一個大發現:雙曲歐拉公式,雙曲柯西公式,雙曲解析函數等等,左右逢源,應有盡有,還有很多意想不到的結果,例如與狹義相對論的聯系。 后來(山東大學)數學研究所的張學銘先生看了這篇文章,很欣賞,問我是否愿意到你到山東大學數學研究所做他的助手。而我當時還在山東省無線電廠做供銷員,直接就給我調過來了,從正規的數學基礎訓練開始了我的數學研究。而這段經歷對我個人后來完全不同領域的數學研究和發現起到了關鍵的作用.

:哪些前人的工作對你的成果有鋪墊意義?

彭實戈:不只是鋪墊意義,我自己的確是站在前人巨人的肩上。非線性期望理論理論是概率論,或者說線性期望理論的一個擴展。概率理論發展300多年了,發展出了那么多非常優美而深刻的數學成果,我們看了也是驚訝不已。這些數學成果對我們后來人的研究起到了至關重要的作用,否則我們只能在無邊的黑暗摸索。

:那你對這個領域的未來有何期待?打個比方,它是兒童還是青少年呢?

彭實戈:雖然它已經獲得很多成果了,但它還是在發展階段。我覺得它應該是高中生,高中生已經有很多獨特的見解。有些事情我們能看到,所以我說它有非常光輝的未來,能夠連接未來科學,但有一些東西我們自己都猜不出它將來具體會怎么發展。

我舉一個例子,為什么說現在有些事情還看不見。微分幾何引進了流形這個概念,就是說在曲面上,什么是相應的直線概念。這個事情開始于什么呢?這個事情其實開始于歐幾里得第五公設條件是不是必要的,這就發展成所謂非歐幾何,非歐幾何就說我們可以找到直線的對應去度量。在這個事情上,高斯起了非常重要的作用,后來由高斯的學生黎曼發展成黎曼幾何。但他們都絕對想不到現在發展出來的這些微分幾何理論,想不到佩雷爾曼他解決了龐加萊猜想,想不到愛因斯坦用它來發展廣義相對論。

但是科學就是這樣一步一步往前走,一邊解決一些問題,一邊提出很多問題。在數學里面,提出問題是非常、非常重要的。因為解決了很多問題,那就提出了更多的問題。它可能應用到其他數學領域,甚至突然之間又出現一個新的愛因斯坦,把它用到物理、化學上去了,這都有可能。這是科學的魅力,也是科學交叉的魅力。

:在交叉發展的過程中有哪些挑戰?

彭實戈:這個挑戰很大的。不同領域的科學家能說到一起去是非常不容易的事情。我自己會和大家創造一種氣氛,喝著咖啡,我們先不要說能做出什么東西來,就先聊你對這個問題怎么理解?你做出的成果我怎么理解?經歷一種這樣的過程,最后突然之間就發現了。有時候這個過程短,有時候這個過程長,就像倒向隨機微分方程在金融中的應用,這個過程就比較短。我飛到巴黎去,我也不知道對方是在做金融,這個真是有點隨機,但是一說,他就抓住了我們做的這個結果。

我們有時候需要有一個比較寬松的環境,比方說tea times,大家都放松。但是放松的時候不聊數學也不行,還得去講數學的故事、講物理的故事、講生命科學的故事。我非常確信非線性期望理論在生命科學中肯定有非常大的應用。像我自己有個學生已經在基因工程這個方面做出很重要的成就了,但因為他離開我時間很長了,再回來,語言都出現隔閡了。他說的東西他覺得很簡單,我也得把他說的理解清楚。這里就要互相理解,切忌說這個東西你理解不了。

我當時在山東省無線電廠做供銷員的時候就愛問問題,問這個那個的道理是什么。我記得有一次,對方就說這個你得學兩年以后,我才能給你講。

千萬不要說這種話。希爾伯特他曾經說過一句話,好的數學結果就是你走到大街上去抓住一個人聊15分鐘,他就能知道你工作的意義。這個很難做到的,越往后越難做到,因為越往后其他科學發展得越抽象。但你還是要堅持這種Open mind(開放性思維)。

:據你的觀察,國內整體科研環境經歷了什么樣的變遷?

彭實戈:整個科研環境比我從法國剛回來的那個時候要好得多得多,也看到了很多的變遷。我在法國讀博士,我問過幾個學科的大專家,菲爾茲獎得主之類的。我問在你這個學科,你能想到中國人的名字嗎?他還得想一會兒,說沒有,就是這樣的。后來我到復旦去,李訓經教授組織了一批我們這樣的年輕人討論問題,說著說著拿起紙來就算,旁邊的黑板往那兒一寫,就是這樣的氣氛。做了大概一年半,外邊就傳開了,叫這批人“復旦學派”(Fudan School),就這么五、六個人。回想當年也是非常令人欣慰的,因為我們這些人在隨機控制這個領域本來是跟著別人走的,突然之間很多東西都出自我們之手了。包括倒向隨機微分方程這些結果都是那個時候出來的。

科學有點像瞎子摸象,你摸到的地方不一樣,你的體會就不一樣,你當然會覺得我現在摸到的是誰都不知道的東西,但是人家也能摸到你不知道的東西,所以需要交流。

:國內現在開始重視基礎科學,數學肯定算是最基礎的基礎科學,你覺得我們要怎么加強這方面?

彭實戈:數學是最、最基礎的,但我覺得要抱著這樣的心態:實際上在最、最基礎的地方還有特別基礎的東西沒有做完。就像非線性,這就是非常、非常基礎的。基礎表現在什么方面呢?我剛才不是說了希爾伯特那個例子,就是因為結果很基礎,結果基礎到你跟別人說說,很快他就聽得懂了。像龐加萊猜想說著很神秘,但是它很基礎,你拿著繩子給別人演示,別人就會聽懂。

你有時候要到那個樹的尖上去看看,但也要看看這個樹的根。我覺得我們對根的重視還是不夠,它能夠影響到上面一系列分杈、開花、結果。不是太復雜的根,經過各種各樣的環境,它會生出非常復雜又非常漂亮的東西。

:對于現在有志于數學的年輕人,你有什么想和他們說的?

彭實戈:有志于在數學上發揮自己的才智,這是非常好的,尤其是現在。無論如何你首先得耐得住寂寞。但是千萬要注意,數學往往被認為就是在解難題,解難題是數學非常、非常重要的方面,你一旦較起真來就會有很多、很多難題去做。但是另一個方面,就是你還需要從整個數學最底部、最原始的來理解清楚,而不是老師直接給你一個題讓你去做。很多問題應該自己想出來。

這一點不只是從大學,在高中、初中就應該會。當然我說這個也可能會誤人子弟,因為我們的考試制度就是這樣的,考試制度就是拿一些題來做,但這個不是做數學,這是做數學題。我們目前的考試制度在這個方面有點把人才引到歧途上去了,希望他們能夠注意數學這種結構的完美,才能得到一個比較健全的發展。

:從小到大,讓你一直保持探索的動力是什么?

彭實戈:我現在還是有好多好奇心,總是每天早晨起來都會有新想法。我們現在想到的一些問題,有時候要解釋出來需要花很長時間,歸根到底,它是一種好奇心的驅動。

第二就是提問題,自己給自己提問題是很重要的;交一些朋友,和他們之間互相提問題也非常重要。你提問題我來想想,我來回答;我提問題你來想想,你來回答。我們當時在復旦就是這樣,一個問題提出來,最后就寫滿很厚的紙,它會自然地越理越清楚。

不是說所有問題都能自己做出來。很多時候你提出問題,自己也做不出來,意味著這可能是一個很深的問題,甚至是涉及到哲學了。所以還有一點就是,做問題的時候不要太把自己限制在一個很窄的領域,有時候稍微開一開,可能這個事情就有新的發現,就是要Open mind,這個非常、非常重要。
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